Признаки делимости на 9 и на 3

Признак делимости на 9

Задача

Разложить, не выполняя деления, 513 еловых шишек в 9 корзин поровну

Решение

В числе 513 содержится 5 сотен, 1 десяток и 3 единицы.

Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню шишек, то в каждую корзину можно положить 11 шишек, а одна шишка останется. 

От пяти сотен останется в 5 раз больше, то есть, 5 шишек.

Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток шишек, то в каждую корзину можно положить 1 шишку, а одна шишка останется.  

Не разложенными в 9 корзин останутся:  

     - 5 шишек от пяти сотен

- 1 шишка от десятка

   - и ещё 3 шишки

Всего останется 9 шишек

Так как 9 шишек можно разложить поровну в 9 корзин (по одной шишке в каждую), то и все 513 шишек можно разложить поровну в 9 корзин.

Значит, число 513 делится на 9 без остатка.

Определим сумму цифр в записи числа 513

5 + 1 + 3 = 9

Число 9 является суммой цифр числа 513.

Определение

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9;

если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Примеры

Число 36 144 делится на 9, так как сумма его цифр: 3 + 6 + 1 + 4 + 4 = 18 - делится на 9.

Число 41 234 не делится на 9, так как сумма его цифр: 4 + 1 + 2 + 3 + 4 = 14 - не делится на 9.

Заметим, что разность между числом и суммой его цифр всегда делится на 9. Для доказательства данного факта рассмотрим произвольное четырехзначное число,  данное число содержит - тысяч, - сотен, - десятков и - единиц. То есть ,  тогда сумма его цифр равна . Найдем разность полученных сумм, получим:

Очевидно, что слагаемые полученной суммы делятся на 9, а значит, и сумма делится на 9, то есть разность между числом и суммой его цифр делится на 9. Аналогично можно провести доказательство для любого числа.

Признак делимости на 3

Так же обосновывается признак делимости на 3.

Задача

Разложить 126 шишек на 3 кучки поровну

Решение

В числе 126 содержится 1 сотня, 2 десятка и 6 единиц

Если раскладывать поровну на три кучки одну сотню шишек, то в каждую кучку можно положить 33 шишки, а одна шишка останется. 

Если раскладывать поровну на три кучки один десяток шишек, то в каждую кучку можно положить 3 шишки, а одна шишка останется.  

От двух десятков останется 2 шишки.

Шесть шишек можно разложить на три кучки по две шишки

Не разложенными по трем кучкам останутся: 1 шишка от одной сотни, 2 шишки от двух десятков 

- 1 шишка от одной сотни

  - 2 шишки от двух десятков

Всего останется 3 шишки

Так как 3 шишки можно разложить поровну на три кучки (по одной шишке в каждую), то и все 126 шишек можно разложить поровну на три кучки.

Значит, число 126 делится на 3 без остатка.

Определим сумму цифр в записи числа 126

1 + 2 + 6 = 9

Число 9 является суммой цифр числа 126.

Определение

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3;

если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Примеры

Число 3744 делится на 3, так как сумма его цифр: 3 + 7 + 4 + 4 = 18 - делится на 3.

Число 1534 не делится на 3, так как сумма его цифр: 1 + 5 + 3 + 4 = 13 - не делится на 3.